Triangulo inscrito

 

ACH  é  um  triangulo  retângulo,  assim:
AH=2r
CH=r
b=l
(2r )^2=r^2+l^2                      
4.r^2=r^2+l^2
 4.r^2-r^2=l^2
3r^2=l^2
 l=√(〖3r〗^2 )
 l=r.√3

apótema
 

ap=cos60º

ap/r=1/2

2a=r

a=r/2

Quadrado inscrito

Diagonal:  

D^2=l^2+l^2

D^2=2l^2

D=√(l^2 ).2     

D=l√2

Apótema:

O  apótema  é  a  metade  do  lado

 a+a=l
2a=l
a=l/2
 

Circunferencia

A  circunferência  é  formada  por  todos  pontos  do  plano  que  estão  equidistantes  de  um  ponto  central,  varrida  esta  distancia  em  uma  volta.

Na  circunferência  se  destacam:

A  corda:  qualquer  seguimento  que  una  dois  pontos  menos o diâmetro

Diâmetro:  seguimento  que  passa  pelo  ponto  central  e  une  dois pontos  à  mesma  distancia

Raio:  seguimento  que  une  o  centro  à  um  ponto  qualquer

Angulo  inscrito:  o  angulo  inscrito  é  metade  do  angulo  central  y,  o  triangulo  determinado  pela  corda  é  isósceles,  tem  os  ângulos  da  base  iguais:  2x+suplemento=180º,

180º-suplemento=2x,  o  angulo  central  é  o  dobro  do  angulo , inscrito,  para  quaisquer  relações  com  os  ângulos  inscritos. 

Poligonos convexos

ai=si/n

ai=angulo  interno;  si=  soma  dos  ângulos  internos;  n=numero  de  lados,  para  polígonos  regulares

A  soma  dos  externos,  soma-se  os  ângulos  internos  e  externos  e  a  equivalência  sera:  n.180

 porque  o  angulo  externo  somado  ao  interno,  resulta  em,  n  triângulos,  pois  a  soma  dos  ângulos  internos  de  um  triangulo  é 180º
(n-2).180+Se=n.180

Se=360º 

O triangulo

Um  triangulo  delimita   duas  regiões,  o  interior  e  o  exterior

A  linha  poligonal  fechada  (triangulo) + o  interior,  chama-se região  triangular

O  angulo  suplementar  e  adjacente  chama-se  angulo  externo

Cada  lado é  oposto  ao  angulo  formado  pelos  outros  dois  lados


Triangulo  equilátero

Todos  os  lados  com  o  mesmo  comprimento

Triangulo  isósceles

Triangulo  escaleno

Todos  os  lados  com  medidas  diferentes

Classificação  pelos  ângulos

Acutângulo  3  ângulos  agudos,  menores  que  90º

Retângulo  1  angulo  de  90º

Obtusângulo  1  angulo  obtuso,  maior  que  90º

Relações:  em  todo  o  triangulo,  cada  lado  é  menor  que  a soma dos  dois  lados

Lei  de  Tales:  A  soma  dos  ângulos  é  180º  

Mediana,  altura  e  bissetriz

Seguimento  de  um  angulo  ao  ponto  médio  do  lado  oposto

Altura:  

Liga  um  angulo  ao  lado  oposto

Bissetriz: 

Está  contida  na  bissetriz  de  um  angulo,  o  divide  em  2 intersepta  o  lado  oposto


Baricentro:  3  medianas  trassadas  dos  angulo  determinam  um ponto  comum,  o  baricentro

Ortocentro:  3  alturas  trassadas  dos  ângulos  internos  determinam  o  ponto  chamado  de  ortocentro

Incentro

3  bissetrizes  trassadas  determinam  o  ponto  incentro

    
Os  ângulos  b  e  x  são  iguais,  bem  como  c  e  y,  se  do  angulo  180º,  e+c,  se  tirar  c,  180º-c,  se  tira  de  180º  y,  o  restante  sera  a  e  b,  a  soma  dos  dois

Um  angulo  externo  de  um  triangulo  é  igual  a  soma  dos  ângulos  não  adjacentes

Casos  de  congruência  em  triângulos

LAL,  dois  triângulos  congruentes,  por  dois  lados  e  um  angulo  determinados  por  estes

ALA,  possuem  um  lado  e  dois  ângulos  congruentes

LLL,  possuem  todos  os  lados  congruentes

LAA,  apresentam  um  lado,  um  angulo,  determinado  por  esse  lado  e  o  angulo  oposto  à  esse  lado

Diagonal dos poligonos

Do  ponto  A  partem  diagonais  para  todos  os  lados,  menos  para  3,  A,  B  e  E.  Assim  D=n(n-3)/2,  pois  cada  ponto  tem  2  diagonais

Nomenclqatura poligonal

O  numero  de  lados  da  nome  aos  polígonos


3 lados-triangulo  
4  lados  quadrilátero
5  lados-pentágono
6  lados-hexágono
7  lados-heptágono
8  lados-octógono...
10  lados-decágono
11  lados-undecágono...
  
  

Interior e exterior do polígono

O  interior  do  polígono  é  a  região  convexa,  o  exterior  a  região  não  convexa  

Poligonos

Linha  poligonal  aberta:  o  termo  poligonal  expressa,  muitos  ângulos,  logo  sera  uma  linha  composta  por  ângulos

  
Linha  poligonal  fechada:  A  linha  poligonal  fechada  é  um  polígono

  

Semi reta e seguimento de reta

Quando  se  determina  um  ponto  em  uma  reta,  cada  uma  das  duas  partes  é  uma  semi  reta

o  seguimento  de  reta  é  a  distancia  entre  dois  pontos

Ponto, reta e plano

A  existência  do  ponto  é  implícita,  surge  a  sua  noção  de  acordo  com  o  que  se  constrói  em  geometria.

                                                    A
                                                     .   ponto  A


A  reta  não  tem  fim  nem  começo,  sao  infinitos  pontos  alinhados.

O plano  é  o  conjunto  dos  infinitos  pontos  nivelados

Área do circulo

O  comprimento  de  todas  as  circunferências  da  área,  1  em  cima  da  outra  dá,  da  maior  à  menor,  de  baixo  para  cima,  dá  a  área  de  um  triângulo,  então:   2π.r(base).h(raio)/2=π.r^2

Área do trapézio

A  área  de  um  paralelogramo  é  2x  a  do  trapézio

At=(B+b).h/2

Área do losango

Uma  diagonal  x  outra,  dariam  conta  da  área  de  um  retângulo,  8  triângulos  retângulos  da  figura  acima,  4(área  do  losango)=D.d/2

Área do triangulo

Área=Área  do  paralelogramo/2

Área=B.h/2

Área do paralelogramo

Á=a.b

Área do retângulo

Área=A.B

Área do quadrado

A área do paralelepípedo

At=2a.b+2b.c+2a.c

A área do tronco piramide hexagonal

g=  geratriz  da  face  trapezoidal               *precalçao  com  as  reizes

Área  lateral=  6  faces  trapezoidais

Faces  laterais  são  trapézios,  área-  (L+l).h/2

Altura  de  cada  trapézio=g,  geratriz

g=√〖4a〗^2 )-L^2+2L.l-l^2)/4

Área  lateral=  (L+l).g/2,     3.(L+l).g

l^2.√3/4.6=  área  da  base

área  total=  área  da  base(M)+área  lateral+área  da  base(m)

A  geratriz  foi  obtida  pela  diferença  do  lado  maior  menos  o  menor,  a  diferença  foi  um  cateto  de  um  triângulo  retângulo,  juntamente  com  a  aresta  (a).

Aresta

A  aresta  é  obtida  pelo  teorema  de  Pitágoras,  considerando  os  lados  das  bases,  que  são  os  lados  dos  triângulos  equiláteros  das  bases:  catetos,(L-l)^2,  h^2,  a^2

a^2=〖(L-l)〗^2+h^2
 a^2=L^2-2Ll+l^2+h^2
a=√(L^2 )-2Ll+l^2+h^2